Tamás Ferenc: Komplex számok

Az általános iskolában leginkább az egész, illetve a törtszámokat tanítják. Erre építik rá a középiskolákban a valós számokat. Lépjünk túl ezen a körön és vegyünk fel egy új számkört, a komplex számokat!

A valós számok a klasszikus értelmezés szerint teljesen kitöltik a számegyenest. A komplex számok két részből állnak: egy valós részből, amely megegyezik a valós számokkal (jele: Re = real), valamint egy képzetes résszel (jele: Im = imaginary), ami geometriai értelemben merőleges erre a valós egyenesre. A következőképpen lehet ábrázolni ezeket a számokat:

Im

c = a+bi

Re

A komplex számoknak több alakja is van, ebből a legegyszerűbb az ún. algebrai alak:

c = a+bi, ahol a,b valós számok és . Ebből következik, hogy:

Tudom, hogy ez első lépésre elég furcsának tűnik, de szeretném újra megerősíteni: itt túl kell lépnünk a valós számok körén!

A fenti rajzot kiegészítve láthatjuk a komplex szám geometriai ábrázolásának két koordinátáját:

Im

c = a+bi

b

φ

Re

a

A fentiek alapján látható, hogy: a = Re(c) és b = Im(c).

A jó öreg Pitagorasz-tétel alapján látható válik a komplex szám abszolút értéke, azaz a komplex számot ábrázoló nyíl hossza. Ez:

Ebből következik:

Ha a klasszikus trigonometriára gondolunk, akkor:

Általában az első összefüggést szoktuk használni, mely alapján:

Megállapodás szerint ez két esetet eredményezhet:

A komplex számoknak az algebrai alakja mellett létezik egy ún. trigonometrikus alakja is!

Ha x=a+bi és , akkor:

Ha ez még nem lenne elég, akkor mindezek mellett az Euler-formula szerint létezik egy ún. exponenciális alakjuk is:

Tehát összefoglalva:

Komplex szám konjugáltja

Bár a jelenlegi állapotban még nem tűnik fontosnak, de hamarosan fontos lesz a komplex számok konjugáltja, amit a következőképpen értelmezhetünk:

Ha , ahol = az x komplex szám konjugáltja. Geometriai értelemben a kapcsolat az, hogy egymás tükörképei a valós tengelyre nézve!

Im

x

Re

Átszámítás trigonometrikus alakra

Adott egy komplex szám algebrai alakja:

Számítsuk át trigonometriai alakra, tehát:

Im

φ Re

A fenti példában:

Az egyszerű trigonometrikus összefüggésekből is látható, hogy: .

Lássunk pár példát!

1. példa: Ha

Átszámítva:

Tehát: .

2. példa: Ha

Tehát:

3. példa: Ha

Tehát:

4. példa: Ha

Tehát: .

Műveletek komplex számokkal

Az algebrai alak feltétele:

1.) Azonosság algebrai alakkal: Ha

2.) Összeadás algebrai alakkal: (a fenti feltételekkel): .

3.) Kivonás algebrai alakkal: (a fenti feltételekkel): .

A trigonometrikus alak feltétele:

4.) Azonosság trigonometriai alakkal: Ha .

5.) Összeadás trigonometrikus alakkal: (a fenti feltételekkel):

A zárójeleket felbonthatjuk, majd átrendezés után a következő alakot kapjuk:

Itt a következők figyelhetők meg:

, illetve:

6.) Kivonás trigonometrikus alakkal: (a fenti feltételekkel):

A zárójeleket felbonthatjuk, majd átrendezés után a következő alakot kapjuk:

Itt a következők figyelhetők meg:

,illetve:

A fentiekből is látható, hogy az utóbbi két művelet sokkal egyszerűbb az algebrai alakkal!

7.) Szorzás algebrai alakban:

, mivel

8.) Szorzás trigonometriai alakban:

Átcsoportosítva szorozzuk össze a két zárójelben lévő kifejezést!

Most ismét használjuk ki az összefüggést!

Itt csupán sorrend-cserére van szükség…

… ahhoz, hogy a jól ismert addíciós képletek előbukkanjanak. Tehát:

9.) Szorzás exponenciális alakban: az eddigi szorzásokhoz képest ez kifejezetten egyszerű lesz!

Ha

Megint csak a sorrendet cseréljük fel:

Ennyi az egész!

10.) Osztás algebrai alakban: ez már nem lesz olyan könnyű falat!

Ha , akkor:

Most célszerű lesz az egész törtet a nevező konjugáltjával bővíteni, így a következőt kapjuk:

Végezzük el az osztást a két lényeges részben:

Tehát: , valamint:

11.) Osztás trigonometriai alakban: Ha

Ismét bővítsünk a nevező konjugáltjával!

Végezzük el a szükséges szorzásokat!

12.) Osztás exponenciális alakban: Ha

Ez megint sokkal egyszerűbb, mint a trigonometrikus alakkal való osztás!

Példák a szorzásra és osztásra

1.) Algebrai alakkal: Ha

Trigonometrikus alakkal a fenti értékeket használva:

Ráadásul:

Így:

Exponenciális alakkal a fenti értékeket használva:

2.) Ha

Osztás algebrai alakkal:

Osztás trigonometrikus alakkal:

Ha

Osztás exponenciális alakkal: Ha

Hatványozás egész kitevőkkel

(mint a valós számoknál), kivéve: , mert az nem értelmezhető!

Hasonlóképpen: , ahol nZ⁺

Továbbá: .

Ha x=a+bi alakú, akkor:

A binomiális tétel alapján:

Röviden:

Fontos megjegyezni, hogy:

Tehát megállapíthatjuk, hogy a hatványozás algebrai alakja elég nehézkes!

Nézzük ugyanezt trigonometrikus alakban!

nZ⁺

Így:

Ez egy újabb binomiális tétel lenne, de itt érdemes alkalmazni a Moivre-képletet, mely szerint:

Végül nézzük ugyanezt exponenciális alakban is!

Ha és nZ⁺ =>

Felhasznált irodalom:

- Obádovics J. Gyula: Matematika – Műszaki Könyvkiadó, 1980, ISBN: 963 10 2368 0

- SH Atlasz: Matematika – Springer Hungarica, 1993, ISBN 963 7775 60 9