Tamás Ferenc: Bináris számábrázolás

Számrendszerekről általában

A sikeres és gyors bináris számábrázoláshoz feltétlenül meg kell érteni a számrendszereket! A legegyszerűbb, legáltalánosabban használt a tízes számrendszer. Alapja: 10. Számjegyei: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 és 9. Másik neve: decimális számrendszer. Mivel a hétköznapokban is ezt használjuk, ezért erről most nem szeretnék többet írni.

A számítástechnikában általánosan használt számrendszer a kettes, vagy bináris. Itt az alap: 2. Használt számjegyek: 0 és 1. Nagyon fontos, hogy bár az informatika alapja a bináris számrendszer, de ettől függetlenül sokkal egyszerűbb a tizenhatos, vagy hexadecimális rendszert használni. A rendszer alapja: 16. Használt számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E és 15=F. Az egyszerűbb megjegyzéshez nyugodtan használhatjuk a következő (ujjakkal mutatott) példát:

(Képek forrása: http://en.wikipedia.org/wiki/Finger_binary )

Mivel sokat fogjuk használni, ezért érdemes külön definiálni a 8-as, vagy oktális rendszert. Itt az alap: 8. Használt számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7.

Természetesen van még igen sok, máshol még fellelhető számrendszer is. Gondoljunk itt például az angolszász nyelvekben gyakori 12-es rendszerre! (pl.: angolban 10=ten, 11=eleven és 12=twelve, de már a 13=thirteen) Előfordulhat még az ókori Babilonban előfordult 60-as rendszer, amely mind a mai napig az óra perceiben és a perc másodperceiben köszön vissza. Ám az informatikában szinte kizárólagosan ez a 4 rendszer fordul elő.

Átváltás a tízes számrendszerre

A különböző számrendszerek között gyorsan és rugalmasan kell tudnunk átváltani. Ezek közül a legegyszerűbb művelet a 10-re való átváltás.

Vegyük először a kettő hatványait: (javaslat: 2¹-2¹⁰ között az értékeket érdemes megtanulni, legalább sorban...)

Vegyünk most egy egyszerű bináris számot: 1001₂.

A jegyek értéke sorrendben a következő: 1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰ = 1*8+0*4+0*2+1*1 = 8+0+0+1 = 9. Tehát: 1001₂ = 9₁₀

Így az átszámítás kicsit nehézkesnek tűnik, de pár példa után menni fog!

Második példa legyen egy 8-jegyű bináris szám: 1010.0111₂.

(Megjegyzés: A 4. bináris számjegy után nem kellene pont, de így a szám könnyebben olvasható.)

Itt is az előzőhöz hasonlóan járunk el:

1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰ =

A fenti hatvány-táblázatot ismételten használva átírjuk a hatványokat:

= 1*128+0*64+1*32+0*16+0*8+1*4+1*2+1*1 =

Most végezzük el a szorzásokat:

= 128+0+32+0+0+4+2+1 = 167₁₀.

Tehát: 1010.0111₂ = 167₁₀.

Tapasztalatom szerint ezt a matematika iránt fogékonyak egyből megértik, de sokszor el szokták számolni és az 5.-10. gyakorló feladat között elmegy a kedvük az egésztől, mert megunják. Ezért van egy kicsit szemléletesebb, de nem feltétlenül gyorsabb módszerem! A példaként vett szám legyen ugyanaz, mint az előbb!

Kezdésnek vegyünk fel egy 5*8-as táblázatot a következő formátumban:

Itt értelemszerűen annyi sor kell, ahány jegye van a bináris számnak.

Második lépésben írjuk fel a 2 hatványait – egyenlőre csak hatványalakban!

Harmadik lépésben fentről lefelé töltsük ki a harmadik oszlopot – a többség hajlandó megjegyezni a kettő hatványait így, sorban. Tehát most itt állunk:

Negyedik lépésben írjuk be az átváltani kívánt bináris szám jegyeit a sorrendre ügyelve! A legalsó sorba kerül a legnagyobb értékű jegy, majd a többi egyesével fölé.

Ötödik lépésben pedig az utolsó két kitöltött oszlop értékeit szorozzuk össze!

Így a helyesen kitöltött táblázat:

Ezek után csak az utolsó oszlopot kell összeadnunk! Sajnos a számológéphez szokott mai ifjúság ezt is gyakran elvéti. Ezért javaslom, hogy egyszerre csak 2-3 számot adjanak össze. A következő táblázatban az első három számot adtuk össze, majd külön képeztük az utolsó két – nem zérus szám - összegét:

Így más a végső összeg is tévesztés nélkül megvan: 167.

Most ugyanezzel a táblázatos módszerrel számoljuk ki a következő bináris szám decimális értékét: 1110.1010₂!

Végső összegzés: 10+96+128 = 106+128 = 234.

Tehát: 1110.1010₂ = 234₁₀.

Használjuk fel ugyanezt a táblázatot egy oktális szám átváltására is! Az alapszám legyen a következő: 6431₈ !

Végső összeg: 25+3328 = 3353. Tehát: 6431₈ = 3353₁₀.

Most hasonlóan járjunk el a következő hexadecimális számmal is: 2AD4₁₆ !

Így a végső összeg: 10964. Tehát: 2AD4₁₆ = 10964₁₀ .

Megjegyzés: A számítástechnikai szakirodalomban nagyon gyakori, hogy a hexadecimális számrendszerű számot nem a hagyományos matematikai jobb alsó sarokba írt 16-tal jelölik, hanem a szám elé írt $ jellel, tehát 2AD4₁₆ = $2AD4.